祖冲之圆周率怎么算出来的?
祖冲之是我国古代著名的数学家和天文学家，他在数学上最重要的成就是把圆周率的小数位史无前例地计算到第七位，这个精度在随后的800年里一直是世界第一。那时是公元480年，一切都要依靠手工计算的时代(甚至算盘可能还没有出现)，算个开方都费劲，那么，祖冲之是如何算出精度这么高的圆周率呢?
圆周率并不是通过先作圆，然后量周长和直径，最后算出来的。因为这样做的误差很大，测量误差不可避免。事实上，古代数学家在很长一段时间里都是用几何方法来计算圆周率。
祖冲之算圆周率所使用的方法是刘徽发明的割圆术，这与阿基米德所用的方法有些不同。阿基米德通过做圆的外切和内接正多边形，来计算圆周率的上下限，因为边数越多的正多边形越接近于圆。
刘徽的割圆术基于圆的内接正多边形，他用正多边形的面积来逼近圆的面积。分割越多，内接正多边形和圆之间的面积越来越小，两者越来接近。无限分割之后，内接正多边形和圆将会合二为一。
在刘徽的方法中，引入了极限和无穷小分割的思想。刘徽的方法更为巧妙，也更为简洁。刘徽算到了正3072边形，结果得到的圆周率为3.1416。
祖冲之在刘徽割圆术的基础上，算到了正24576边形，并根据刘徽圆周率不等式，确定了圆周率的下限(肭数)为3.1415926，上限(盈数)为3.1415927。并且，祖冲之还顺便给出了圆周率的一个近似分数355/113，其前六位都是正确的。
在没有计算机和算盘的帮助下，祖冲之用算筹来计算乘方和开方，硬生生地把圆周率的小数位算到了第七位，这需要极其巨大的毅力和艰苦卓绝的付出。在祖冲之的努力下，此后800年里，没有人能够算出比这精度更高的圆周率。
祖冲之用什么算出圆周率的?
根据《隋书·律历志》关于圆周率(π)的记载：“宋末，南徐州从事史祖冲之，更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。”祖冲之把一丈化为一亿忽，以此为直径求圆周率。他计算的结果共得到两个数：一个是盈数(即过剩的近似值)，为3.1415927;一个是朒数(即不足的近似值)，为3.1415926。
盈朒两数可以列成不等式，如:3.1415926(*)<π(真实的圆周率)<3.1415927(盈)，这表明圆周率应在盈朒 两数之间。按照当时计算都用分数的习惯，祖冲之还采用了两个分数值的圆周率。一个是355/113(约等于3.1415927)，这一个数比较精密，所以祖冲之称它为“密率”。另一个是22/7(约等于3.14)，这一个数比较粗疏，所以祖冲之称它为“约率”。
祖冲之在圆周率方面的研究，有着积极的现实意义，他的研究适应了当时生产实践的需要。他亲自研究度量衡，并用最新的圆周率成果修正古代的量器容积的计算。古代有一种量器叫做“ 釜 ”，一般的是一尺深，外形呈圆柱状，祖冲之利用他的圆周率研究，求出了精确的数值。他还重新计算了汉朝刘歆所造的“律嘉量”， 利用“祖率”校正了数值。以后，人们制造量器时就采用了祖冲之的“祖率”数值。
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